La premi\u00e8re m\u00e9thode n\u2019\u00e9tait qu\u2019une m\u00e9thode approximative et avec mes choix de ne presque pas utiliser la trigonom\u00e9trie et les valeurs d\u2019angle, je ne me suis rendu compte de mon erreur qu\u2019une fois arriv\u00e9 \u00e0 la fin du dessin. Vous pouvez voir le d\u00e9calage important qui fait que m\u00eame pour une simple repr\u00e9sentation l’erreur est trop significative pour un usage graphique.<\/p>\n
J\u2019ai donc repris une autre m\u00e9thode encore plus foireuse mais\u2026 ouf ! je m\u2019en suis rendu compte assez t\u00f4t cette fois.<\/p>\n Une troisi\u00e8me m\u00e9thode m\u2019a donn\u00e9 du fil \u00e0 retordre mais je l\u2019ai finie, j\u2019ai les formules et je pourrais l\u2019utiliser maintenant sur n\u2019importe quel valeur de cot\u00e9.\u00a0Celle-ci est simple et compliqu\u00e9e \u00e0 la fois : simple car elle ne n\u00e9cessite que peu d\u2019\u00e9tapes, et compliqu\u00e9e car elle demande un peu de r\u00e9flexion. Mais quand n\u2019est-ce pas le cas en math\u00e9matique et plus pr\u00e9cis\u00e9ment en g\u00e9om\u00e9trie ?<\/p>\n La premi\u00e8re \u00e9tape et la plus importante est de dessiner un triangle isoc\u00e8le dont la base sera la valeur de nos c\u00f4t\u00e9s d\u2019heptagone.<\/p>\n Pour r\u00e9aliser ce triangle on part d\u2019un simple carr\u00e9 BCDE (pour une construction du carr\u00e9 au compas et \u00e0 la r\u00e8gle voir l’article Un peu de g\u00e9om\u00e9trie \u2013 partie 2<\/a>).\u00a0Avec BC notre base, le premier des c\u00f4t\u00e9s de l’heptagone.<\/p>\n Ensuite on dessine la droite perpendiculaire \u00e0 BC et passant par son centre K. Je n\u2019explique plus ici comment proc\u00e9der car je l\u2019ai expliqu\u00e9 plusieurs fois dans l\u2019article en r\u00e9f\u00e9rence ci-dessus. On \u00e9tend cette ligne au-dessus du carr\u00e9 de fa\u00e7on suffisante pour la suite du dessin.<\/p>\n En troisi\u00e8me, on va dessiner un cercle c1 de centre C et dont le rayon est l\u2019hypot\u00e9nuse de BCE. Ce cercle passera donc par le point E sur le carr\u00e9, par un point L situ\u00e9 sur la m\u00e9diatrice de BC. et par un point non encore d\u00e9fini F.<\/p>\n Ce point particulier nous int\u00e9resse sur ce cercle. Mais malheureusement on ne peut pas le dessiner au compas car il n\u00e9cessite de conna\u00eetre les coordonn\u00e9es d\u2019un point A sur l\u2019axe KL. Hors ce dernier point ne peut \u00eatre d\u00e9fini que si on connait la position du point F qui est d\u00e9j\u00e0 un point qu\u2019on recherche.<\/p>\n C\u2019est ici l\u2019histoire de la poule et de l\u2019\u0153uf. Et comme dans tout processus d\u2019\u00e9volution, c\u2019est le temps et l\u2019exp\u00e9rience qui nous donneront la solution.<\/p>\n Le but de ce point A est qu\u2019avec les points B et C, ils se trouveront tous les trois sur le cercle c2 qui va nous permettre de dessiner notre heptagone. De plus, on a d\u00e8s \u00e0 pr\u00e9sent le segment de droite BC qui est de fait l\u2019un des c\u00f4t\u00e9s de notre heptagone. Tout est d\u00e9j\u00e0 en place. Que demander de plus.<\/p>\n On va donc y aller \u00e0 t\u00e2tons en connaissant deux ou trois choses qu\u2019on peut exploiter :<\/p>\n Comment faire ?<\/p>\n Les anciens avaient la r\u00e9ponse en utilisant la m\u00e9thode de la construction par neusis.<\/p>\n Qu\u2019est-ce que la construction par neusis ? c\u2019est une m\u00e9thode qui permet gr\u00e2ce \u00e0 une r\u00e8gle gradu\u00e9e de trouver deux points et une direction sur un graphe. \u00ab\u00a0Neusis\u00a0\u00bb venant du grec pourrait se traduire par \u00ab\u00a0pencher vers\u00a0\u00bb. Dans notre exemple on va plut\u00f4t \u00ab\u00a0redresser vers\u00a0\u00bb mais c\u2019est la m\u00eame chose.<\/p>\n Ici on a un seul point fixe qui est B, on place donc notre r\u00e8gle quelque part en B et on met le d\u00e9but de notre r\u00e8gle quelque part sur la m\u00e9diatrice KL. S\u2019il faut choisir un point, on choisira L qui est \u00e0 la fois sur notre cercle c1 et sur l\u2019axe KL sur lequel on doit positionner A. On peut donc poser le d\u00e9but de notre r\u00e8gle sur ce point.<\/p>\n Donc au final et plus simplement que dit auparavant on positionne notre r\u00e8gle en L et on tourne autour de ce point jusqu\u2019au point B. On remarquera que la distance LB est identique \u00e0 LC car L est situ\u00e9 sur la m\u00e9diatrice de BC.<\/p>\n Maintenant on va d\u00e9placer notre r\u00e8gle verticalement sur l\u2019axe KL en direction de A (inconnu) en prenant soin que le point B soit toujours en contact avec la r\u00e8gle (voir graphique). On appellera Z ce point temporaire sur l\u2019axe KL. On continue ce principe jusqu\u2019\u00e0 ce que l\u2019on obtienne une distance AF \u2014 F \u00e9tant notre point sur le cercle c1 \u2014 \u00e9gale \u00e0 BC. On aura mis un rep\u00e8re sur notre r\u00e8gle pour nous aider.<\/p>\n Astuce : vu que la distance AF = BC alors on peut faire un premier d\u00e9placement de BC \/ 2, faire son calcul et ajuster en cons\u00e9quence la position. En partant d\u2019un d\u00e9calage du haut de ma r\u00e8gle de la moiti\u00e9 de BC, il me faut huit \u00e9tapes pour arriver \u00e0 avoir la bonne valeur de Z. On peut \u00a0maintenant appeller\u00a0ce dernier point A.<\/p>\n Voil\u00e0. C\u2019est fait; le point A est d\u00e9fini. Maintenant comment calculer le point F avec ce qu\u2019on connait : voil\u00e0 un truc que je ne sais pas encore faire !! Vais-je devoir r\u00e9fl\u00e9chir !!<\/p>\n Et comme on sait que AF = BC alors FC = AC – AF.<\/p>\n Apr\u00e8s analyse, je suis maintenant en terrain connu. Comme j\u2019ai les trois longueurs (BC, CF et FB) de mon triangle et un angle (FBC), l\u2019angle BFM (M \u00e9tant la projection de F sur BC suivant l\u2019axe KL) est le m\u00eame que l\u2019angle BAK, je peux donc calculer le sinus et le cosinus de cet angle et pour trouver la position de F je n\u2019ai plus qu\u2019\u00e0 trouver les distances BM et FM et les d\u00e9duire ou les ajouter aux valeurs de B.<\/p>\n Voil\u00e0 c\u2019est fait on a notre point F situ\u00e9 sur le cercle c1 : Je fais un apart\u00e9 pour dire qu\u2019il existe une m\u00e9thode plus noble de construction des heptagones en utilisant les coniques mais il me semblait plus int\u00e9ressant de montrer la m\u00e9thode de construction par neusis pour son aspect plus empirique et plus adapt\u00e9 aux personnes avec moins de bagage math\u00e9matique. Cette m\u00e9thode manuelle ancienne a \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9e comme l\u2019une des pires m\u00e9thodes par les math\u00e9maticiens au XVIII-XIXe si\u00e8cles pour passer de l\u2019art \u00ab\u00a0abstrait et noble\u00a0\u00bb des math\u00e9matiques vers une m\u00e9thode ‘m\u00e9canique et terre-\u00e0-terre\u00a0\u00bb mais bien utile sans aucun doute pour beaucoup d’artisans.<\/p>\n De plus, maintenant, avec l\u2019informatique, il est possible de faire ce travail de r\u00e8gle d\u00e9plac\u00e9e de fa\u00e7on algorithmique en simulant le d\u00e9placement par augmentation ou r\u00e9duction de la valeur de KA sup\u00e9rieure \u00e0 KL pour obtenir notre distance BA, notre point F align\u00e9 sur BA et de v\u00e9rifier la condition donn\u00e9e AF = BC.<\/p>\n Bon revenons \u00e0 nos moutons, leurs d\u00e9placements et les fleurs brout\u00e9es sur ce chemin.<\/p>\n On avance en passant \u00e0 l\u2019\u00e9tape suivante. On utilise pour cela la m\u00e9thode du centre des m\u00e9diatrices des segments des c\u00f4t\u00e9s du triangle.<\/p>\n Maintenant qu\u2019on a la position de A, on doit calculer le rayon du cercle circonscrit ABC de centre O. O \u00e9tant le point d\u2019intersection des m\u00e9diatrices de AB, BC et CA. Il nous suffit de deux m\u00e9diatrices pour trouver ce point; la troisi\u00e8me ne servant qu\u2019\u00e0 v\u00e9rifier notre calcul.<\/p>\n Comme on a d\u00e9j\u00e0 la m\u00e9diatrice au cot\u00e9 BC il nous suffit d\u2019en prendre une deuxi\u00e8me; la troisi\u00e8me nous servira seulement \u00e0 v\u00e9rifier notre calcul.<\/p>\n On connait d\u00e9j\u00e0 l\u2019abscisse de O puisque O appartient \u00e0 la droite KLA m\u00e9diatrice de BC. On a donc la valeur x de O.<\/p>\n On calcule donc les coordonn\u00e9es du point N centre de AB, puis on trace la perpendiculaire \u00e0 AB passant par N. Cette droite croise normalement la m\u00e9diatrice BC au point O qu\u2019on va calculer.<\/p>\n Avec ses \u00e9l\u00e9ments, on peut calculer la dimension des segments AO et BO et la position y du point O.\u00a0Il ne suffit plus qu\u2019\u00e0 dessiner le cercle c2 de centre O est de rayon OA passant par les points B et C.<\/p>\n La derni\u00e8re \u00e9tape est la construction des autres points supports des autres cot\u00e9s de l\u2019heptagone.<\/p>\n Au compas, il suffit de tracer les cercles de rayon BC aux points pr\u00e9sents du triangle ABC pour obtenir les quatre points suppl\u00e9mentaires au croisements de ces cercles avec c2.<\/p>\n Math\u00e9matiquement et informatiquement, on calculera les points manquants de la m\u00eame mani\u00e8re qu\u2019on a calcul\u00e9 les points du pentagone pr\u00e9c\u00e9demment dans l\u2019article Un peu de g\u00e9om\u00e9trie \u2013 partie\u00a04<\/a>.<\/p>\n Voil\u00e0 on a termin\u00e9 de dessiner notre heptagone r\u00e9gulier et ce n\u2019est pas si mal en d\u00e9finitive. Pour des challenges plus imposants (et plus long en pr\u00e9paration, calculs, dessin et tout ce qu\u2019on n\u2019avait pas pr\u00e9vu, vous pouvez le faire pour les polygones plus importants.<\/p>\n Si le c\u0153ur vous en dit, internet vous donnera, j\u2019en suis s\u00fbr, de plus ample informations l\u00e0-dessus.<\/p>\n Pour en finir ponctuellement avec notre heptagone, On peut dire qu’il est peu utilis\u00e9 en pavage de plan mais on peut trouver des motifs aussi bien dans la d\u00e9coration et l\u2019architecture islamiques et arabo-andalouses que dans l\u2019architecture sacr\u00e9e europ\u00e9enne (voir en r\u00e9f\u00e9rences ci-dessous).<\/p>\n Les angles repr\u00e9sentatifs de l\u2019heptagone sont 51,42857\u00b0, 102,85714\u00b0, 25,71428\u00b0, 12,85714\u00b0 et ses multiples.<\/p>\n La base de ces angles \u00e9tant l\u2019angle de 6,42857\u00b0 avec une particularit\u00e9 qui pourra permettre le placement d\u2019une formes bas\u00e9e sur l\u2019heptagone. Le produit de 6,42857 * 7 nous donne un angle juste de 45* et 6,42857 * 8 nous donne l\u2019angle de 51,42857\u00b0 ce qui peut nous amener \u00e0 cogiter sur les projections d\u2019une forme dans un espace heptagonal ou octogonal.<\/p>\n Mais c\u2019est une autre histoire.<\/p>\n Cette s\u00e9rie est d\u00e9sormais finie, je vais revenir \u00e0 un travail plus graphique dans mes prochains travaux.<\/p>\n \u00c0 bient\u00f4t pour un nouvel article.<\/p>\n r\u00e9f\u00e9rences :<\/p>\n La m\u00e9thode par neusis :\u00a0https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Neusis<\/a><\/p>\n L’heptagone sur Wikipedia :\u00a0https:\/\/fr.m.wikipedia.org\/wiki\/Heptagone<\/a><\/p>\n Quelques exemples de l\u2019utilisation de formes bas\u00e9es sur le polygone \u00e0 7 angles.<\/p>\n Une architecture d\u2019exception pour l\u2019\u00c9glise r\u00e9form\u00e9e de Ganges (H\u00e9rault) :\u00a0https:\/\/journals.openedition.org\/pds\/2125<\/a><\/p>\n Le Pavillon des Sept Etoiles \u00e0 Enghien (Belgique) :\u00a0https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Parc_d%27Enghien<\/a><\/p>\n Une rosace sur un mur de l’abbaye de Beaulieu-en-Rouergue :\u00a0https:\/\/fr.m.wikipedia.org\/wiki\/Abbaye_de_Beaulieu-en-Rouergue<\/a><\/p>\n \u00c9glise de l’Assomption de Rieux-Minervois :\u00a0https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/%C3%89glise_de_l%27Assomption_de_Rieux-Minervois<\/a><\/p>\n La fontaine \u00e0 ablutions heptagonale (et non pas hexagonale comme indiqu\u00e9 de l’ancienne mosqu\u00e9e de l’Ile de Kos (Gr\u00e8ce) :\u00a0https:\/\/viagallica.com\/grece\/ville_kos_-_ville_ottomane.htm<\/a><\/p>\n![\"Heptagone_methode_approximative\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Heptagone_methode_approximative-1024x781.png\")
<\/a><\/p>\n![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.03.29\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.03.29-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.11.19\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.11.19-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n\n
![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.23.08\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.23.08-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.28.10\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.28.10-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\nOn connait<\/p>\n
On sait que<\/p>\n
On connait aussi<\/p>\n
![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.52.48\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_09.52.48-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n
\nCF = CE = CL
\nA, B, et F sont align\u00e9s.<\/p>\nOn connait<\/p>\n
et comme le triangle AOB est un triangle isoc\u00e8le et que O est sur l\u2019axe AK, on connait aussi<\/p>\n
![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.06.17\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.06.17-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.08.16\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.08.16-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n![\"Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.12.13\"](\"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/wordpress_fold\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/Capture_d\u2019ecran_heptagone_2024-07-22_10.12.13-1024x912.png\")
<\/a><\/p>\n