{"id":690,"date":"2023-10-16T11:04:21","date_gmt":"2023-10-16T10:04:21","guid":{"rendered":"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/?p=690"},"modified":"2024-07-20T10:02:55","modified_gmt":"2024-07-20T09:02:55","slug":"un-peu-de-geometrie-partie-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ghyslain-clement.fr\/?p=690","title":{"rendered":"Un peu de g\u00e9om\u00e9trie – partie 1"},"content":{"rendered":"

En pavage de plan on utilise des formes color\u00e9es en les agen\u00e7ant de telle fa\u00e7on que ces formes tapissent le plan sans espace mais aussi sans superposition de celles-ci.<\/p>\n

C\u2019est une redite de l\u2019article pr\u00e9c\u00e9dent<\/a> dans lequel j\u2019en parlais d\u00e9j\u00e0.<\/p>\n

Mais qu\u2019est-ce qu\u2019une forme ?<\/span><\/p>\n

En math\u00e9matique on peut consid\u00e9rer une forme comme une figure combin\u00e9e par un nombre fini de points et de segments et\/ou des courbes les reliant; on peut ajouter : d\u00e9limitant des surfaces et permettant des comparaisons de longueurs et d\u2019angles et si besoin de courbures. On peut consid\u00e9rer une forme \u00e0 partir de 2 points puisqu\u2019on peut \u00e0 partir de ces deux points tracer un segment de droite entre ceux-ci.<\/p>\n

Une forme peut aussi \u00eatre d\u00e9fini par le rapport entre deux motifs. En exemple, si un triangle a les m\u00eames angles qu\u2019un autre triangle on peut dire qu\u2019il est de m\u00eame forme que cet autre triangle; par contre, cette condition n\u2019est pas suffisante pour un rectangle dont il faut aussi calculer les rapports des segments pour v\u00e9rifier qu\u2019ils sont identiques.<\/p>\n

\"Un<\/a><\/p>\n

On parle g\u00e9n\u00e9ralement d\u2019une forme \u00e0 partir d\u2019une repr\u00e9sentation d\u2019un objet ayant trois points et l\u00e0 on aborde la notion de surface. puisqu\u2019en-dessous de trois point on n\u2019a qu\u2019une longueur pour le segment de droite et pour un point on a\u2026 un simple point.<\/p>\n

Tous les objets ayant trois points et plus sont divisibles en formes de trois points. Cette division n\u2019est pas forc\u00e9ment unique et peu continuer \u00e0 l\u2019infini car chaque triangle est lui-m\u00eame divisible en deux parties ou plus, qui eux-m\u00eame sont divisibles, etc. \u00a0Tout triangle peut par cette division donner naissance \u00e0 2 triangles rectangles.<\/p>\n

On peut \u00e0 partir de ce qui est dit pr\u00e9c\u00e9demment diviser tout objet topologique en triangles d\u00e9finis (positions des points longueurs des segments et valeurs des angles de ces triangles). On utilise ces particularit\u00e9s pour d\u00e9finir la surface d\u2019un objet quelconque. La topologie est la branche des math\u00e9matiques qui \u00e9tudie les relations de position dans l\u2019espace et aide \u00e0 d\u00e9finir les propri\u00e9t\u00e9s des objets \u00e9tudi\u00e9s.<\/p>\n

Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, c\u2019est une partie de la g\u00e9om\u00e9trie. Les topologues sont les math\u00e9maticiens s\u2019occupant de cette branche des math\u00e9matiques. L\u2019usage le plus courant de la topologie est le calcul de distances et de surfaces et \u00e9ventuellement de courbures qui sont r\u00e9alis\u00e9s par les g\u00e9om\u00e8tres topographes pour le domaine foncier (calcul de surfaces d\u2019une propri\u00e9t\u00e9, division parcellaire de celle-ci, bornage d\u2019un terrain pour y construire ou le cl\u00f4turer, respects des lois dans le domaine de la propri\u00e9t\u00e9) et de g\u00e9nie civil (cartographie, construction d\u2019une route ou d\u2019une ligne de chemin de fer, cr\u00e9ation d\u2019un ouvrage \u2014 pont, tunnel, station de m\u00e9tro \u2014, passage de conduites techniques en milieu urbain ou en campagne, etc.). Mais aussi le calcul des d\u00e9nivel\u00e9s.<\/p>\n

Comme je disais dans l\u2019article pr\u00e9c\u00e9dent la division du plan en parcelles existe certainement depuis la s\u00e9dentarisation des hominid\u00e9s et le besoin de contr\u00f4ler et de r\u00e9gir les soci\u00e9t\u00e9s. Les moyens au d\u00e9part intuitifs de calculs ont donn\u00e9 naissance je suppose \u00e0 des techniques et des outils qui eux-m\u00eame peu \u00e0 peu ont donn\u00e9 naissance \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie; cela se complexifiant \u00e0 chaque nouveau besoin de l\u2019homme. Je lisais derni\u00e8rement que le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore \u00e9tait certainement beaucoup plus ancien qu\u2019on ne le pensait jusqu\u2019\u00e0 maintenant apr\u00e8s avoir trouv\u00e9 une tablette babylonienne (r\u00e9f. IM67118) datant de 1 700 av. J.-C. sur un site de fouille en Irak en 1962 et qui citerait les m\u00eames \u00e9l\u00e9ments de preuves et de d\u00e9finition que ceux de Pythagore. Je reste prudent malgr\u00e9 tout mais je ne doute pas de cette possibilit\u00e9 au regard d\u2019autres tablettes (YBC 7289, YBC 7243) traitant du m\u00eame sujet et de fa\u00e7on nettement plus complexe que la simple relation de la diagonale du carr\u00e9 \u00e0 ses cot\u00e9s. liens ci-dessous.<\/p>\n

\"YBC-7289-REV\"<\/a> \"YBC-7289-OBV\"<\/a><\/p>\n

figure : tablette babylonienne YBC 7289<\/a><\/p>\n

Presque deux mill\u00e9naires plus tard, les romains ont cr\u00e9\u00e9s des ouvrages importants sur ces principes g\u00e9om\u00e9triques qui sont parvenus jusqu\u2019\u00e0 nous et nous donne des le\u00e7ons en mati\u00e8re d\u2019\u00e9cologie et de productivit\u00e9. Les sites du pont du Gard mais surtout de son canal de 50 km qui amenait l\u2019eau potable \u00e0 N\u00eemes d\u2019une source de montagne avec un d\u00e9nivel\u00e9 moyen de 25 cm par kilom\u00e8tre soit uniquement 12,60 m sur l’ensemble du parcours, l\u2019aqueduc de Montjeu, beaucoup plus court mais qui permettait aussi par des astuces incroyables d\u2019amener l\u2019eau potable \u00e0 Autun, une autre grande ville romaine qui n\u2019a malheureusement pas gard\u00e9 ses monuments. Un autre site int\u00e9ressant est le site de l\u2019aqueduc et des moulins de Barbegal, proche d\u2019Arles et de Fontvieille. Malheureusement il ne reste l\u00e0 encore plus grand chose \u00e0 voir des moulins; restent des parties de l\u2019aqueduc et une vue sur la vall\u00e9e qui laissent imaginer la majest\u00e9 de ce site en son temps.<\/p>\n

Ces sites sont des exemples parmi d\u2019autres de r\u00e9alisations ayant demand\u00e9 de fortes connaissances en g\u00e9om\u00e9trie et au m\u00eame titre que le travail du g\u00e9om\u00e8tre actuel les relev\u00e9s topographiques pour la r\u00e9alisation de ces ouvrages et de tant d\u2019autres (dont les milliers de voies romaines au travers de l\u2019Europe et de tous les pays m\u00e9diterran\u00e9ens montre qu\u2019une connaissance approfondie des principes de g\u00e9om\u00e9trie et de topologie \u00e9taient d\u00e9j\u00e0 fortement ancr\u00e9s dans les usages d\u00e8s cette \u00e9poque.<\/p>\n

Je passe mais le monde romain est certainement la civilisation qui a le plus utilis\u00e9 la g\u00e9om\u00e9trie dans ses ouvrages. L\u2019ensemble de ce qui nous reste \u00e0 voir et \u00e0 comprendre autour de la M\u00e9diterran\u00e9e est suffisamment cons\u00e9quent et pour certains b\u00e2timents, cela nous donne encore des le\u00e7ons de leur g\u00e9nie deux mille ans apr\u00e8s.<\/p>\n

J’en reviens \u00e0 nos surfaces. En France la modification des syst\u00e8mes d’impositions au XVII\u00e8me si\u00e8cle et la n\u00e9cessit\u00e9 de connaitre pour cela les terres poss\u00e9d\u00e9es par chacun sous Louis XIV et ensuite\u00a0les guerres napol\u00e9oniennes ont permis par un effort important la r\u00e9alisation d’un cadastre pour connaitre aussi la superficie totale de la France.<\/p>\n

Et maintenant revenons \u00e0 nos moutons : nos formes. Je disais tout \u00e0 l\u2019heure que chaque forme pouvait \u00eatre d\u00e9compos\u00e9e en de multiples triangles et la limitation n\u2019est que la taille minimale de chaque triangle que l\u2019on veut cr\u00e9er. Si on fait des gros triangles on aura une grossi\u00e8re approximation de notre forme, ou alors notre forme sera suffisamment simple pour \u00eatre r\u00e9duite seulement de cette fa\u00e7on et il n\u2019y a pas besoin de chercher plus loin ou plut\u00f4t\u2026 plus petit.<\/p>\n

\"Un<\/a><\/p>\n

Un carr\u00e9 par exemple peut-\u00eatre r\u00e9duit en seulement 4 triangles droits identiques en ajoutant un simple point au centre de ce carr\u00e9. Dans ce cas, chaque triangle \u00e9tant lui-m\u00eame un demi-carr\u00e9 de cot\u00e9 \u00e9gal \u00e0 la moiti\u00e9 de l\u2019hypot\u00e9nuse du carr\u00e9 d\u2019origine et son hypot\u00e9nuse \u00e9gal au cot\u00e9 de ce m\u00eame carr\u00e9. On peut reproduire la division sur ces triangles pour obtenir les m\u00eames formes r\u00e9duites et ce \u00e0 l\u2019infini.<\/p>\n

Les artisans et math\u00e9maticiens arabes du d\u00e9but du second mill\u00e9naire ont utilis\u00e9 la m\u00eame fa\u00e7on de penser pour cr\u00e9er des centaines de formes que sont les zelliges. Avec deux formes de base, triangle et carr\u00e9, ils ont r\u00e9alis\u00e9s les autres formes en se basant sur les angles, la superposition et l\u2019inclusion ou l\u2019exclusion de ce qui d\u00e9passe ou de ce qui est doubl\u00e9. Il suffit de prendre ces deux formes dans Inkscape, Illustrator ou peut-\u00eatre m\u00eame Canva et de s\u2019appliquer \u00e0 quelques manipulations et quelques applications d\u2019effets pour voir les possibilit\u00e9s de cette technique. On verra par la m\u00eame occasion, l\u2019apparition d\u2019un nombre de triangles de plus en plus importants au fur et \u00e0 mesure de ces tripatouillages.<\/p>\n

\"dessin<\/a><\/p>\n

Cet exemple montre bien la complexit\u00e9 d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sente lors de la superposition de deux triangles. Le nombre possible de lignes pour relier les points caract\u00e9ristiques de ceux-ci (angles, points de croisement des segments) est d\u00e9j\u00e0 tr\u00e8s important et peut engendrer de multiples formes et motifs. Je n’ai fait dans ce dessin\u00a0que relier chaque point de croisement et chaque point au centre de chaque segment, je n’ai pas utilis\u00e9 la possibilit\u00e9 d’y ajouter les sommets des triangles ce qui aurait encore complexifi\u00e9 ce dessin.<\/p>\n

Je n’ai fait qu’effleurer dans ce premier article le sujet et je n’ai pas encore utilis\u00e9 une seule valeur d’angle, cela ne devrait pas \u00eatre le cas dans l’article suivant. En attendant que je l’\u00e9crive n’h\u00e9sitez pas \u00e0 consultez les quelques liens que j’ai mis ci-dessous.<\/p>\n

Suite de l\u2019article ici :\u00a0Un peu de g\u00e9om\u00e9trie – partie 2<\/a><\/p>\n

quelques r\u00e9f\u00e9rences :<\/p>\n

sur les babyloniens :<\/p>\n